Matemática - 1º Bimestre

Formas geométricas e ângulos

01/02/2021

Documento usado em aula

Formas geométricas

Ângulos

Exemplo alterno externo

Triângulos e ângulos internos

20/03/2021 — Aula 1

Documento usado em aula

Foram revistos os conceitos de OPV e Alternos internos. (Comentamos sobre o Zorro :V)

Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo

Demonstrações de exercícios

• Foi feita uma demonstração de exercício, dados dois ângulos internos (30° e 80°), foi calculado o terceiro.

    Sabendo que:
    30° + 80° + x = 180°
  
    Temos que:
    x = 180° - (30° + 80°)
  
    Logo:
    x = 180° - 110°
  
    Finalmente:
    x = 70°
  

• Num triângulo dentro de um retângulo, foram calculadas os valores dedos seus ângulos internos.
• Com dois triângulos (um em cima do outro) unidos pelo vértice, tínhamos que o ângulo interno do vértice do triângulo inferior valia 70°, logo, se aferiu o mesmo valor ao ângulo interno do vértice do triângulo superior.

Ângulos internos de um polígono regular

Foi comentado que estudamos muito triângulos, pois, quando temos polígonos (regulares) mais complexos, podemos transformá-los em triângulos para facilitar a sua análise.

Porcentagem

02/03/2021 — Aula 2

Documento usado em aula

Como discutimos, “porcentagem” ou “percentagem” estão corretos.

Porcentagem é considerar que algo é 100 (quando inteiro), para analisá-lo (em partes).

Muito ou pouco é relativo à o que é analisado.

Diferentes formas de calcular

Exemplo: 50% de R$ 16

Multiplicação

1. Transformar a porcentagem para um decimal.
   • No caso, 50% em 0,50 (30% seria 0,30 e 100% seria 1,00)
2. Pegar o valor analisado e multiplicar.
   • No caso, 16 * 0,50 = 8

Regra de três

100 - está para -> 16
      assim como
50 -- está para -> x

100x = 16 * 50
100x = 800
x = 800 / 100
x = 8

Fácil

Proporção

Se 50 é a metade de 100, o resultado que procuramos é a metade de 16, logo 8.

Quando pensamos em proporção, devemos pensar em multiplicação e divisão, nunca adição.

Suponhamos que uma receita tem 1 lata de leite e 3 colheres de chocolate, se aumentarmos 1 lata, não devemos aumentar 1 colher (adicionando). Como multiplicamos a quantidade de latas por 2, devemos fazer o mesmo com as colheres, multiplicando 3 por 2, temos 6 colheres de chocolate.

Exercícios de porcentagem

04/03/2021

Documento usado em aula

Revisamos o conceito de porcentagem e resolvemos 3 questões do Enem.

Dica: no Enem, sempre leia o final das questões antes do resto do enunciado.

Exercícios:

1 - O quadro representa os gastos mensais de uma família com internet, mensalidade escolar e mesada do filho.

No início do ano, a internet e a mensalidade escolar tiveram acréscimos, respectivamente, de 20% e de 10%. Necessitando manter o valor total da despesa mensal, a família reduzirá a mesada do filho. Qual será a porcentagem de redução da mesada?

a) 15,0

b) 23,5 <–

c) 30,0

d) 70,0

e) 76,5

Valor subtraído da internet:

20% de 120 =
120 * 1.2 =
144

Portanto, o aumento foi de R$24,00.

Valor subtraído da mensalidade da escola:

10% de 700 =
700 * 1.1 =
770

Portanto, o aumento foi de R$70,00.

Somando os valores 24 + 70, temos que o valor que precisa ser subtraído da mesada é de R$94,00.

Efetuando uma regra de três simples, temos que:

400 ------- 100
 94 -------   x

400x = 100 * 94
400x = 9400
x = 9400/400
__________
|x = 23,5|
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

2 - Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), o rendimento médio mensal dos trabalhadores brasileiros, no ano de 2000, era de R$1250,00. Já o censo de 2010 mostrou que esse valor teve um aumento de 7,2% em relação a 2000. Há uma projeção de que, em 2020, o rendimento médio mensal dos trabalhadores brasileiros será de 10% maior que em 2010. Supondo que as projeções estejam certas, o rendimento mensal dos brasileiros em 2020 será de:

a) R$1 340,00

b) R$1 349,00

c) R$1 375,00

d) R$1 465,00

e) R$1 474,00 <–

Salário de 2010:

Aumento de 7,2% em 1250 =
1250 * 1,072 =
1340

Salário em 2020:

Aumento de 10% em 1340 =
1340 * 1,1 =
______
|1474|
‾‾‾‾‾‾

3 - Um laboratório realiza exames em que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os resultados são analisados de acordo com o quadro a seguir:

Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e comprovou que estava com hiperglicemia. Sua taxa de glicose era de 300mg/dL. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa em 30% e na segunda etapa em 10%.

Ao calcular sua taxa de glicose após as duas reduções, o paciente verificou que estava na categoria de:

a) hipoglicemia.

b) normal.

c) pré-diabetes.

d) diabetes melito. <–

e) hiperglicemia.

Redução de 30% em 300:

Pense que retirar 30% de um número é o mesmo que encontrar 70% dele mesmo, pois 100% - 30% = 70%.

70% de 300 =
300 * 0,7 =
210

Redução de 10% em 210:

O mesmo raciocínio se aplica ao 10%.
100% - 10% = 90%.

90% de 210 =
_____
|189|
‾‾‾‾‾

189 fica entre 125 e 250, portanto, se encaixa como diabetes melito.

Exercícios de Porcentagem e Revisão de Operações

08/03/2021

Exercícios de Porcentagem

Vimos nas duas últimas questões do formulário (as de resposta aberta) e corrigimos detalhadamente com discussões sobre as diferentes abordagens.

1. Sara trabalha em uma loja de sapatos e ganha uma comissão de 25% sobre o valor das vendas que faz. Seu salário fixo é de 2000 reais. Qual valor ela deve vender em sapatos para que seu rendimento total seja 250% do seu salário fixo?

250% do salário = 250% de 2000
200% seria o dobro, logo 4000
50% seria a metade, logo 1000
Portanto 250% seria 5000

Se ela ganha 2000 e quer 5000, precisa ganhar mais 3000
Como 3000 com 25% de comissão é um quarto do total que ela precisa vender,
precisa vender (3000 * 4), logo 12000

1. Júlio ganhou 50 reais de sua tia. Ela disse que ele tinha que dividir com a irmã dele e também guardar um pouco para uma eventual emergência. Júlio decidiu dar metade do valor para sua irmã e depois guardou 10 reais do que ficou com ele. A irmã disse que isso não seria justo e que ele deveria fazer o contrário, primeiro guardar 10 reais e depois dividir o que sobrou com ela pela metade. O que você acha dessa história? A ordem das operações faz mesmo diferença? Na sua opinião, o que Júlio deveria fazer? Porquê?

Nessa, existem diversas abordagens do que seria “justo”, vimos e discutimos acerca.

Revisão de operações

Demos uma pairada sobre conceitos “básicos” de ordem de operações, operações inversas, uso de parênteses para a mudança de ordem, e outros conceitos do gênero.

Operações

09/03/2021

Revimos mais sobre operações, com propriedades distributivas, forças das operações, mudanças dos resultados em função da ordem, etc.

Terminologia e Gráficos

05/04/2021

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Exercícios de gráficos

06/04/2021

Documento usado em aula

Revisamos o conceito de gráficos, servindo para mostrar comparações, tendências, etc.

Resolvemos o seguinte exercício juntos:

ENEM 2019: Um comerciante, que vende somente pastel, refrigerante em lata e caldo de cana em copos, fez um levantamento das vendas realizadas durante a semana. O resultado desse levantamento está apresentado no gráfico.

Ele estima que venderá, em cada dia da próxima semana, uma quantidade de refrigerante em lata igual à soma das quantidades de refrigerante em lata e caldo de cana em copos vendidas no respectivo dia da última semana.

Quanto aos pastéis, estima vender, a cada dia da próxima semana, uma quantidade igual à quantidade de refrigerante em lata que prevê vender em tal dia. Já para o número de caldo de cana em copos, estima que as vendas diárias serão iguais às da última semana.

Segundo essas estimativas, a quantidade a mais de pastéis que esse comerciante deve vender na próxima semana é:

a. 20.
b. 27.
c. 44.
d. 55.
e. 71.

Também resolvemos juntos a seguinte questão:

a. 4.
b. 3.
c. 2.
d. 1.
e. 0.

Mais exercícios de análise de gráficos

07/04/2021

Documento usado em aula

Finalização da retomada de Gráficos e Correção da ADE

12/04/2021

Documento usado em aula

Vimos sobre Plano Cartesiano e a leitura de suas Coordenadas:

Correção da Avaliação Diagnóstica de Entrada (ADE):

Ex. 14:

Potências, raízes e conjuntos numéricos

13/04/2021

Documento usado em aula

Potências quadradas

Qual é a área de um quadrado de lado 4?

Um quadrado de lado 4 é: 4 por 4.

Ou seja 4*4, ou 4^4 (4 elevado à 4).

4 vezes 4 é 16, então, a áre de um quadrado de lado 4 é 16.

Raiz quadrada

Na raiz quadrada a lógica é inversa, a pergunta é:

Qual é o lado do quadrado que tem 16 de área (ou 16 quadradinho dentro)?

Um quadrado com 16 dentro, tem de lado:

1 quadrado? - 1 vezes 1 é 1.
Não é 16.

2 quadrados? - 2 vezes 2 é 4.
Não é 16.

3 quadrados? - 3 vezes 3 é 9.
Não é 16.

4 quadrados? - 4 vezes 4 é 16.
É 16! Logo, um quadrado com 16 dentro, tem lado 4.

Conjuntos dos Numéricos Naturais

Números que usamos para fazer contagem.

Números inteiros, positivos.

N = { 0, 1, 2, 3, ..., 320, ..., 2021, ... }

Números naturais ao quadrado

0² = 0*0 = 0
1² = 1*1 = 1
2² = 2*2 = 4
3² = 3*3 = 9
...

Raíz quadrada

raiz de 0 = 0
raiz de 1 = 1
raiz de 4 = 2
raiz de 9 = 3
...

Conjunto dos Números Inteiros

Números positivos e negativos inteiros.

Z = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }

Números inteiros ao quadrado

-3² = -3 * -3 = 9
-2² = -2 * -2 = 4
-1² = -1 * -1 = 1
0² = 0*0 = 0
1² = 1*1 = 1
2² = 2*2 = 4
3² = 3*3 = 9
...

Mas pera, tanto 2² quanto -2² dá 4.

Então a raiz de 4 pode ser -2 além de 2?

Sim, mas se fosse assim -2 seria igual a 2, o que é falso.

Por isso, foi feita uma convensão em que se decidiu ter a raiz de um número como sendo positiva.

raiz de 16 = 4

Porém, no caso de uma icógnita como:

x² = 16

4² = 16 é correto
-4² = 16 também é correto

Logo, x pode ser 4 ou -4

Conjuntos dos Numéricos Racionais

Números que vêm de uma divisão.

Se temos:
C = A / B
Sendo A e B inteiros e diferentes de 0.
Temos que:
C pertence aos números racionais.

15/5 = 3
3 é racional
e inteiro

-3/10 = -0,3
-0,3 é racional
e decimal exato

1/3 = 0,333...
0,333... é racional
e dízima periódica

Teorema de Pitágoras

19/04/2021

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Lados do Triângulo Retângulo

Os lados que formam o ânculo reto, se chamam-se catetos.

O terceiro lado, maior, oposto ao ângulo reto, é a hipotenusa.

Teorema de Pitágoras

“O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”

Para visualizar, vimos o seguinte vídeo: A demonstração do Teorema de Pitágoras(via experimento) - YouTube

Qual é a medida do lado a?

Temos vários triângulo reângulos retos:

Na fórmula, a e b são catetos, c é a hipotenusa. Se consideraros o triângulo b:

c² = a² + b²
c² = 2² + 3²
c³ = 4 + 9
c² = 13
c = raíz de 13

Conjunto dos números Reais

Os números reais englobam todos os outros conjuntos que vimos até agora.

ℝ é o símbolo dos números racionais.

Números Reais

20/04/2021

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Operações com Números Reais

10/05/2021

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Razões Trigonométricas

11/05/2021

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